Fils de Ida Maunier et de Louis Rivière, il est né aux Avirons le 15 août 1933. Après des études secondaires au petit Séminaire de Cilaos et à Saint-Ilan, il poursuit une formation en théologie au Séminaire du Saint-Esprit à Croix-Val-Mer dans le Var, où il est ordonné prêtre le 22 février 1961.
De retour au pays natal en juillet de la même année, il est successivement vicaire au Tampon (1961-1964), professeur au Séminaire de Cilaos (1962-1963), aumônier des Scouts et Guides de France (1961-1964), aumônier au lycée de Saint-Denis (1964-1966), curé de la paroisse de Savannah (1966-1969), supérieur du Petit Séminaire (fin 1969), aumônier des migrants (1970-1986), curé de la cathédrale (1986-1992), curé à Rivière Saint-Louis (1993-2001) avant de prendre sa retraite en septembre 2011.
« Prêtre zélé et actif, le Père Félix a accompli un ministère remarquable et remarqué auprès des Réunionnais migrants en métropole, » souligne Gilbert Aubry, évêque du diocèse. À la demande et avec l’appui de Monseigneur Georges Guibert, alors évêque du diocèse, il a créé à Paris l’Aumônerie réunionnaise qui a contribué à engendrer, à terme, la Fédération des Fraternités Réunionnaises. Il relate son expérience d’aumônier des migrants dans un ouvrage intitulé « Au rendez-vous des pauvres ».
Prête bâtisseur, il a également construit sur son terrain familial, situé non loin du lieu-dit « La Chapelle » sur la route du Tévelave, une « Maison des prêtres », destinée au départ à accueillir des prêtres à la retraite. Ce lieu, baptisé « Notre dame de Bon accueil », est aujourd’hui géré par l’association qu’il a fondé avec de fidèles compagnons.
En 1989, c’est lui qui officiait à la cathédrale de Saint-Denis, lieu qui accueillit la grande messe du Pâpe Jean-Paul 2 lors de sa venue sur notre île de la Réunion.
M. Félix Rivière était chevalier de la Légion d’Honneur.